Bài tập 21, § 9

Cho G là một nhóm Lie compact, T là một xuyến cực đại của G.

a) Cho $\mathscr{S}$ là một tập hợp các nhóm con đóng của G, ổn định dưới phép liên hợp, sao cho họ các nhóm con $(S\cap T)_{S\in\mathscr{S}}$ là hữu hạn. Chứng minh rằng tập hợp các lớp liên hợp của các nhóm con $S_0$, với $S\in \mathscr{S}$, là hữu hạn (bằng cách sử dụng Exerc. $12a$)$)$, rút gọn về trường hợp các nhóm con $S_0$ là chuẩn tắc; xét các nhóm $C(S_0)_0$ và $D(S_0)$, và áp dụng Exerc. $12b))$.

b) Chứng minh rằng $\mathscr{S}$ là hợp của một số hữu hạn các lớp liên hợp của các nhóm con của G (bằng cách sử dụng $a$), rút gọn về trường hợp các nhóm con $S\in \mathscr{S}$ đều có cùng thành phần đơn vị $\Sigma$, là nhóm con chuẩn tắc của G; sau đó chặn các cấp của các phần tử của các nhóm $S/\Sigma$, và áp dụng Exerc. $20b))$.

c) Cho E là một không gian tôpô Hausdorff trên đó G tác động liên tục. Chứng minh rằng nếu các phần tử của E chỉ có một số hữu hạn kiểu quỹ đạo đối với phép toán của T, thì điều tương tự cũng đúng đối với phép toán của G.