Exercice 21, § 9

Soient G un groupe de Lie compact, T un tore maximal de G. a) Soit S un ensemble de sous-groupes fermés de G, stable par conjugaison, tel que la famille des sous-groupes (S ∩ T)_{S∈S} soit finie. Montrer que l’ensemble des classes de conjugaison des sous-groupes S_0, pour S ∈ S, est fini (se ramener à l’aide de l’exerc. 12, a) au cas où les sous-groupes S_0 sont distingués ; considérer les groupes C(S_0)_0 et D(S_0), et appliquer l’exerc. 12, b)). b) Montrer que S est réunion d’un nombre fini de classes de conjugaison de sous-groupes de G (se ramener à l’aide de a) au cas où tous les sous-groupes S ∈ S ont la même composante neutre Σ, distinguée dans G ; borner alors les ordres des éléments des groupes S/Σ, et appliquer l’exerc. 20, b). c) Soit E un espace topologique séparé sur lequel G opère continûment. Montrer que si les éléments de E ont un nombre fini de types d’orbite pour l’action de T, il en est de même pour l’action de G.