Bài tập 3, § 9

Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con compac của G. Giả sử rằng G thừa nhận một biểu diễn tuyến tính trung thành (hữu hạn chiều).

a) Cho $\Theta_H(G)$ là đại số con của $\mathscr{C}(H;\mathbf{R})$ gồm các hạn chế lên H của các hàm đại diện (liên tục) trên G. Chứng minh rằng $\Theta_H(G)$ trù mật trong $\mathscr{C}(H;\mathbf{R})$ đối với tôpô hội tụ đều.

b) Cho $f\in \Theta_H(G)$. Chứng minh rằng tồn tại một biểu diễn $\sigma$ của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều sao cho một hệ số của biểu diễn $\sigma |H$ không trực giao với $f($Lý thuyết phổ, đang chuẩn bị).

c) Cho $\rho : H\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ là một biểu diễn của H trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều. Chứng minh rằng tồn tại một không gian vectơ thực hữu hạn chiều W, một biểu diễn $\sigma : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(W)$ và một đơn cấu $u: V\rightarrow W$, sao cho $u(\rho (h)v) =\sigma (h)u(v)$ với $h\in H,v\in V$.

(Rút gọn về trường hợp trong đó $\rho$ là bất khả quy, và dùng $b$)$.)$