Exercice 3, § 9

Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe compact de G. On suppose que G admet une représentation linéaire fidèle (de dimension finie). a) Soient $\Theta_H(G)$ la sous-algèbre de $C(H; \mathbf{R})$ formée des restrictions à H des fonctions représentatives (continues) sur G. Montrer que $\Theta_H(G)$ est dense dans $C(H; \mathbf{R})$ pour la topologie de la convergence uniforme. b) Soit $f \in \Theta_H(G)$. Montrer qu'il existe une représentation $\sigma$ de G dans un espace vectoriel réel de dimension finie telle que le caractère de la représentation $\sigma|H$ ne soit pas orthogonal à $f$ (TS, à paraître). c) Soit $\rho : H \to \mathbf{GL}(V)$ une représentation de H dans un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer qu'il existe un espace vectoriel réel W de dimension finie, une représentation $\sigma : G \to \mathbf{GL}(W)$ et un homomorphisme injectif $u : V \to W$, tels que $u(\rho(h)\, v) = \sigma(h)\, u(v)$ pour $h \in H, v \in V$. (Se ramener au cas où $\rho$ est irréductible, et utiliser b.).

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