Bài tập 5, § 9

Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con compact của G. Giả sử tồn tại một biểu diễn tuyến tính trung thành $\rho : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều.

a) Chứng minh rằng tồn tại một biểu diễn $\sigma$ của $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều W, một dạng toàn phương dương tách được $q$ trên V và một vectơ $w$ trong W sao cho $\rho (H) =\mathbf{O}(q)\cap F_w$, trong đó $F_w$ là nhóm con cố định của $w$ trong $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ (chọn một dạng toàn phương $q$ bất biến dưới H và một biểu diễn của $\mathbf{O}(q)$ sao cho $\rho (H)$ là nhóm con cố định của một điểm (Hệ quả 2 của no. 2), rồi áp dụng Bài tập 3 $c$)$)$.

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một không gian vectơ thực hữu hạn chiều E, một biểu diễn của G trên E và một vectơ $e\in E$ có nhóm cố định H (lấy $E = W\oplus Q$, trong đó Q là không gian các dạng toàn phương trên V, và $e= (w, q)$).