Exercice 5, § 9

Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe compact de G. On suppose qu’il existe une représentation linéaire fidèle ρ : G → GL(V) de G dans un espace vectoriel réel de dimension finie. a) Montrer qu’il existe une représentation σ de GL(V) dans un espace vectoriel réel W de dimension finie, une forme quadratique positive séparante q sur V et un vecteur w de W tels qu’on ait ρ(H) = O(q) ∩ F_w, où F_w est le fixateur de w dans GL(V) (choisir une forme quadratique q invariante par H et une représentation de O(q) telle que ρ(H) soit le fixateur d’un point (cor. 2 du n° 2), puis appliquer l’exerc. 3, c)). b) Déduire de a) qu’il existe un espace vectoriel réel E de dimension finie, une représentation de G dans E et un vecteur e ∈ E de fixateur H (prendre E = W ⊕ Q, où Q est l’espace des formes quadratiques sur V, et e = (w, q)).