Bài tập 7, § 9

Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con compact của G, và $\rho$ là một biểu diễn unita của H trên một không gian Hilbert thực W. Ký hiệu X là đa tạp $G\times^HW$ (no. 3).

a) Chứng minh rằng tồn tại một không gian Hilbert V, một biểu diễn unita $\sigma$ của G trên V và một phép nhúng (giải tích) $\varphi : X\rightarrow V$ sao cho $\varphi (gx) =\sigma (g)\varphi (x)$ với $g\in G,x\in X$ (sử dụng Bài tập 4 và Bài tập 6).

b) Chứng minh rằng, nếu W là hữu hạn chiều và nếu G thừa nhận một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều trung thành, thì có thể chọn V hữu hạn chiều (sử dụng Bài tập 3 và Bài tập 5).