Exercice 7, § 9

Soient G un groupe de Lie, H un sous-groupe compact de G, ρ une représentation unitaire de H dans un espace réel hilbertien W. On note X la variété G ×^H W (n° 3). a) Montrer qu’il existe un espace hilbertien V, une représentation unitaire σ de G dans V et un plongement (analytique) φ : X → V tels que φ(gx) = σ(g) φ(x) pour g ∈ G, x ∈ X (utiliser l’exerc. 4 et l’exerc. 6). b) Si W est de dimension finie et si G admet une représentation linéaire fidèle de dimension finie, démontrer qu’on peut choisir V de dimension finie (utiliser l’exerc. 3 et l’exerc. 5).