Bài tập 8, § 9

Cho X là một đa tạp paracompact thuộc lớp $C^r(1\leq r\leq \infty )$, và G là một nhóm Lie tác động đúng trên X sao cho luật của phép toán $(g, x) \rightarrow gx$ thuộc lớp $C^r$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một biểu diễn unita $\rho$ của G trên một không gian Hilbert V và một phép nhúng $\varphi$ (thuộc lớp $C^r$) của X vào V, sao cho $\varphi (gx) =\sigma (g)\varphi (x)$ với $g\in G, x\in X$. (Dùng Mệnh đề 6, Bài tập 7, và lập luận như trong chứng minh của Mệnh đề 4.)

b) Đặt thêm các giả thiết sau:

(i) G thừa nhận một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều;

(ii) X đếm được tại vô cực, và có chiều bị chặn;

(iii) X chỉ có một số hữu hạn kiểu quỹ đạo đối với phép toán của G.

Chứng minh rằng tồn tại một phủ hữu hạn của X bởi các tập mở $(U_i)_{i\in I}$ ổn định dưới G, các nhóm con compact $(H_i)_{i\in I}$ của G, và với mọi $i\in I$ một đa tạp con đóng $S_i$ của $U_i$, ổn định dưới $H_i$, sao cho ánh xạ $(g, s) \rightarrow gs$ cảm sinh qua phép lấy thương một đẳng cấu từ $G\times^{H_i}S_i$ lên $U_i$ (chứng minh rằng các tập mở của $X/G$ mà ảnh ngược của chúng trong X thừa nhận một phủ như vậy tạo thành một tập con gần đầy đủ của tập hợp các tập mở của $X/G$, xem Tôpô đại cương, Chương IX, §4, Bài tập 27). c) Với các giả thiết trong $b$), chứng minh rằng tồn tại một biểu diễn của G trên một không gian vectơ thực hữu hạn chiều V và một phép nhúng của X vào V thuộc lớp $C^r$ tương thích với các phép toán của G (lập luận bằng quy nạp trên tập hợp các nhóm con của G, sử dụng $b$), Bài tập 2 và Bài tập 7).