Exercice 8, § 9

Soient X une variété paracompacte de classe C^r (1 ≤ r ≤ ∞), G un groupe de Lie opérant proprement sur X, de façon que la loi d’opération (g, x) ↦ gx soit de classe C^r. a) Montrer qu’il existe une représentation unitaire ρ de G dans un espace hilbertien V et un plongement φ (de classe C^r) de X dans V, tels que φ(gx) = σ(g) φ(x) pour g ∈ G, x ∈ X. (Utiliser la prop. 6, l’exerc. 7, et raisonner comme dans la démonstration de la prop. 4.) b) On fait de plus les hypothèses suivantes : (i) G admet une représentation linéaire de dimension finie ; (ii) X est dénombrable à l’infini, de dimension bornée ; (iii) X n’a qu’un nombre fini de types d’orbite pour l’action de G. Démontrer qu’il existe un recouvrement fini de X par des ouverts (U_i)_{i∈I} stables par G, des sous-groupes compacts (H_i)_{i∈I} de G, et pour tout i ∈ I une sous-variété fermée S_i de U_i, stable par H_i, telle que l’application (g, s) ↦ gs induise par passage au quotient un isomorphisme de G ×^{H_i} S_i sur U_i (montrer que les ouverts de X/G dont l’image réciproque dans X admet un tel recouvrement forment une partie quasi-pleine de l’ensemble des ouverts de X/G, cf. TG, IX, p. 107, exerc. 27). c) Sous les hypothèses de b), démontrer qu’il existe une représentation de G dans un espace vectoriel réel V de dimension finie et un plongement de classe C^r de X dans V, compatible aux opérations de G (raisonner par récurrence sur l’ensemble des sous-groupes de G, en utilisant b), l’exerc. 2 et l’exerc. 7).