Bài tập 9, § 9

Cho G là một nhóm Lie tác động đúng trên một đa tạp X. Giả sử một trong hai điều kiện sau:

(i) $X/G$ là compact, và X là đếm được ở vô cực và có chiều bị chặn; (ii) X là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên đó G tác động tuyến tính.

Chứng minh rằng tập hợp các kiểu quỹ đạo của các phần tử của X là hữu hạn (xét đồng thời hai trường hợp bằng quy nạp theo dim X, và sử dụng Mệnh đề 6).