Bài tập 13, § 4

Chứng minh rằng $(W,S)$ là thuộc kiểu hyperbolic (x. Bài tập 12) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (H₁) Dạng $B_M$ không dương. (H₂) Với mọi tập con $T$ của $S$ phân biệt với $S$, dạng $B_{M(T)}$ liên kết với hệ Coxeter $(W_T, T)$ là dương.

(Nếu $(W,S)$ là thuộc kiểu hyperbolic, ta đã thấy rằng $e_s^*.e_s^* \leq 0$ với mọi $s \in S$, theo ký hiệu của Bài tập 12. Khi đó hạn chế của $B_M$ lên siêu phẳng $E(s)$ trực giao với $e_s^*$ là $\geq 0$; vì $E(s)$ được sinh bởi các $e_t$ với $t \neq s$, suy ra (H₂). Ngược lại, giả sử rằng (H₁) và (H₂) được thỏa mãn; đặt $x = \sum_s a_s e_s$ là một phần tử của $E$ sao cho $x.x < 0$; đặt $x_+$ (tương ứng $x_-$) là tổng của các $a_s e_s$ mà với chúng $a_s$ là $> 0$ (tương ứng $\leq 0$); hãy chứng minh rằng hoặc $x_+.x_+ < 0$ hoặc $x_-.x_- < 0$. Nếu $V$ ký hiệu nón đơn hình mở sinh bởi các $e_s$, và $H$ là tập hợp các $x \in E$ sao cho $x.x < 0$, suy ra rằng tồn tại một thành phần liên thông $H_0$ của $H$ cắt $V$; bằng cách dùng (H₂), hãy chứng minh rằng $H_0$ không cắt các tường của $V$, do đó $H_0 \subset V$. Suy ra rằng dạng $B_M(x,y) = x.y$ là không suy biến có chữ ký $(n-1,1)$, và rằng $C$ được chứa trong $-H_0$, do đó suy ra việc $(W,S)$ là thuộc kiểu hyperbolic.)