Exercice 13, § 4

Montrer que, pour que $(W, S)$ soit de type hyperbolique (cf. exerc. 12), il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées : (H₁) La forme $B_M$ n’est pas positive. (H₂) Pour toute partie T de S distincte de S, la forme $B_{M(T)}$ associée au système de Coxeter $(W_T, T)$ est positive. (Si $(W, S)$ est de type hyperbolique, on a vu que $e_s^*.e_s^* \leq 0$ pour tout $s \in S$, les notations étant celles de l’exerc. 12. La restriction de $B_M$ à l’hyperplan $E(s)$ orthogonal à $e_s^*$ est donc $\geq 0$; comme $E(s)$ est engendré par les $e_t, t \neq s$, on en déduit (H₂). Inversement, supposons (H₁) et (H₂) vérifiées; soit $x = \sum_s a_s e_s$ un élément de E tel que $x.x < 0$; soit $x_+$ (resp. $x_-$) la somme des $a_s e_s$ pour lesquels $a_s$ est $> 0$ (resp. $\leq 0$); montrer que l’on a, soit $x_+.x_+ < 0$, soit $x_-.x_- < 0$. Si V désigne le cône simplicial ouvert engendré par les $e_s$, et H l’ensemble des $x \in E$ tels que $x.x < 0$, en déduire qu’il existe une composante connexe $H_0$ de H qui rencontre V; en utilisant (H₂), montrer que $H_0$ ne rencontre pas les murs de V, d’où $H_0 \subset V$. En déduire que la forme $B_M(x, y) = x.y$ est non dégénérée de signature $(n - 1, 1)$, et que C est contenu dans $-V^0$, d’où le fait que $(W, S)$ est de type hyperbolique.)