Bài tập 2, § 4

a) Gọi $\Gamma_w$ là tập hợp các phần tử sinh cực biên của nón $w(C)$ và gọi $A$ là hợp của các $\Gamma_w$ với $w \in W$. Hãy chỉ ra rằng $A$, được trang bị bởi họ $\{\Gamma_w | w \in W\}$, là một building (Chương IV, § 1, Bài tập 15). Hãy chỉ ra rằng ánh xạ $j$ từ apartment $A_0$ liên kết với hệ Coxeter $(W, S)$ (Chương IV, § 1, Bài tập 16) tới $A$, biến đổi điểm $wW^{(s)}$ của $A_0$ (với $w \in W$ và $s \in S$) thành phần tử sinh $w(\mathbf{Re}_s)$, là một đẳng cấu từ $A_0$ lên $A$, tương thích với tác động của $W$. Hãy chỉ ra rằng, nếu $t = wsw^{-1}$, với $w \in W$ và $s \in S$, thì ảnh dưới $j$ của tường $L_t$ được xác định bởi $t$ (tương ứng của một nửa của $A_0$ được xác định bởi $L_t$) (\emph{loc. cit.}) là tập hợp các phần tử của $A$ được chứa trong siêu phẳng (tương ứng trong nửa-không gian đóng) là biến đổi bởi $\sigma^*(w)$ của siêu phẳng $e_s = 0$ (tương ứng của một trong các nửa-không gian đóng $e_s \geq 0$ hoặc $e_s \leq 0$).

b) Hãy chỉ ra rằng $W$ là hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại một phần tử $w_0 \in W$ sao cho $w_0(C) = -C$. Khi đó phần tử $w_0$ là duy nhất và là phần tử dài nhất của $W$ (dùng Bài tập 22 của Chương IV, § 1). Hãy chỉ ra rằng trong trường hợp đó $j(-a) = -j(a)$ với mọi $a \in A_0$ (xem Bài tập 22 c) của Chương IV, § 1).

c) Hãy chỉ ra rằng $W$ là hữu hạn khi và chỉ khi nón $U$ thu được bằng cách lấy hợp của các bao đóng nón $w(\overline{C})$ với $w \in W$ bằng toàn bộ $E^*$ (nếu $W$ là hữu hạn, dùng b) và tính lồi của $U$. Nếu $U = E^*$, xét một phần tử $w \in W$ sao cho $w(\overline{C}) \cap (-C) \neq \varnothing$ và hãy chỉ ra rằng $w(C) = -C$.

d) Cho $H$ là một nhóm con hữu hạn của $W$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tập con $X$ của $S$ sao cho $W_X$ là hữu hạn và chứa một nhóm liên hợp của $H$. (Lập luận bằng quy nạp theo $\mathrm{Card}(S)$. Lấy $x \in C$ và $\overline{x} = \sum_{h \in H} h(x)$. Hãy chỉ ra, bằng cách dùng c) ở trên, rằng $W$ là hữu hạn nếu $\overline{x} = 0$. Nếu $\overline{x} \neq 0$, thì tồn tại $w \in W$ và $Y \subset S, Y \neq S$, sao cho $w(\overline{x})$ thuộc $C_Y$ (theo ký hiệu của no. 6), và do đó $H \subset w^{-1}W_Yw$; áp dụng giả thiết quy nạp cho $Y$.)