Exercice 2, § 4

a) Soit $\Gamma_w$ l’ensemble des génératrices extrémales du cône $w(C)$ et soit A la réunion des $\Gamma_w$ pour $w \in W$. Montrer que A muni de l’ensemble $\mathfrak{G} = \{ \Gamma_w | w \in W \}$ est un immeuble (chap. IV, § 1, exerc. 15). Montrer que l’application $j$ de l’appartement $A_0$ associé au système de Coxeter (W, S) (chap. IV, § 1, exerc. 16) sur A qui transforme le point $wW^{(s)}$ de $A_0$ (pour $w \in W$ et $s \in S$) en la génératrice $w(\mathbf{Re}_s)$, est un isomorphisme de $A_0$ sur A, compatible avec l’action de W. Montrer que, si $t = ws w^{-1}$, avec $w \in W$ et $s \in S$, l’image par $j$ du mur $L_t$ défini par $t$ (resp. d’une moitié de $A_0$ définie par $L_t$) (loc. cit.) est l’ensemble des éléments de A contenus dans l’hyperplan (resp. le demi-espace fermé) transformé par $\sigma^*(w)$ de l’hyperplan $e_s = 0$ (resp. d’un des demi-espaces fermés $e_s \geqslant 0$ ou $e_s \leqslant 0$).

b) Montrer que W est fini si et seulement si il existe un élément $w_0 \in W$ tel que $w_0(C) = - C$. Cet élément $w_0$ est alors unique et c’est l’élément de plus grande longueur de W (utiliser l’exerc. 22 du chap. IV, § 1). Montrer qu’on a alors $j(-a) = - j(a)$ pour tout $a \in A_0$ (cf. exerc. 22 c) du chap. IV, § 1).

c) Montrer que W est fini si et seulement si le cône U réunion des adhérences des cônes $w(\overline{C})$ pour $w \in W$ est égal à $E^*$ tout entier (si W est fini, utiliser b) et la convexité de U. Si $U = E^*$, considérer un élément $w \in W$ tel que $w(\overline{C}) \cap (-C) \neq \varnothing$ et montrer que $w(C) = - C$.

d) Soit H un sous-groupe fini de W. Montrer qu’il existe une partie X de S telle que $W_X$ soit fini et contienne un conjugué de H. (Raisonner par récurrence sur Card(S). Soient $x \in C$ et $\bar{x} = \sum_{h \in H} h(x)$. Montrer, en utilisant c) ci-dessus, que W est fini si $\bar{x} = 0$. Si $\bar{x} \neq 0$, il existe $w \in W$ et $Y \subset S, Y \neq S$, tels que $w(\bar{x})$ appartienne à $C_Y$ (notation du n° 6), d’où $H \subset w^{-1} W_Y w$; appliquer l’hypothèse de récurrence à Y.)