Bài tập 3, § 4

Giả sử rằng $(W, S)$ là bất khả quy.

a) Chứng minh rằng hoán tập của $W$-môđun $E$ thu gọn về các phép vị tự.

b) Chứng minh rằng tâm của $W$ thu gọn về $\{1\}$ nếu $W$ là vô hạn hoặc nếu $W$ là hữu hạn và phần tử dài nhất $w_0$ (xem Bài tập 2) là $\neq -1$. Nếu $W$ là hữu hạn và $w_0 = -1$, tâm của $W$ là $\{1, w_0\}$.

c) Chứng minh rằng mọi phần tử $w \neq 1$ của $W$ sao cho $wSw^{-1} = S$ biến $C$ thành $-C$ (chứng minh rằng $w(e_s) = -e_{wsw^{-1}}$, trước hết với một $s \in S$ nào đó, rồi với mọi $s \in S$). Suy ra (Bài tập 2) rằng một phần tử như vậy chỉ tồn tại nếu $W$ là hữu hạn và khi đó nó bằng $w_0$.