Exercice 3, § 4

On suppose (W, S) irréductible. a) Montrer que le commutant du W-module E est réduit aux homothéties. b) Montrer que le centre de W est réduit à $\{1\}$ lorsque W est infini ou lorsque W est fini et que l’élément $w_0$ de plus grande longueur (cf. exerc. 2) est $\neq -1$. Si W est fini et si $w_0 = -1$, le centre de W est $\{1, w_0\}$. c) Montrer que tout élément $w \neq 1$ de W tel que $wSw^{-1} = S$ transforme C en $-C$ (on montrera que $w(e_s) = - e_{wsw^{-1}}$ tout d’abord pour un $s \in S$, puis pour tout $s \in S$). En déduire (exerc. 2) qu’un tel élément n’existe que si W est fini et qu’il est alors égal à $w_0$.