Bài tập 3, § 5

Cho $K$ là một trường có đặc số không, $V$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $l$ trên $K$, và $G$ là một nhóm con của $GL(V)$ sinh bởi các giả-phản xạ. Đặt $q = \mathrm{Card}(G)$; ký hiệu $S$ (tương ứng $L$) là đại số đối xứng (tương ứng đại số ngoài) của $V$. Nếu $x \in V$, ký hiệu bởi $x$ (tương ứng $x'$) ảnh chính tắc của nó trong $S$ (tương ứng trong $L$).

a) Cho $E = S \otimes L$ là tích tenxơ của $S$ và $L$. Chứng minh rằng tồn tại một đạo hàm duy nhất $d$ trên $E$ sao cho $dx = x'$ và $dx' = 0$ với mọi $x \in V$.

b) Cho $S^G$ là đại số các bất biến đối xứng của $G$ và cho $P_1, \ldots, P_l$ là các phần tử thuần nhất của $S^G$ sao cho $S^G = K[P_1, \ldots, P_l]$. Với mọi tập con $I = \{i_1, \ldots, i_r\}$ của $[1, l]$ thỏa mãn $i_1 < \cdots < i_r$, đặt

Chứng minh rằng các $\omega_I$ độc lập tuyến tính trên $S$, và chúng thuộc đại số con $E^G$ gồm các phần tử của $E$ bất biến dưới tác dụng của $G$. Suy ra rằng, với mọi $\omega \in E^G$, tồn tại $a, c_I \in S^G$, với $a \neq 0$, sao cho

c) Chứng minh rằng mọi phần tử của $E^G$ được chứa trong $S \otimes \bigwedge^l V$ đều có dạng $c.dP_1 \ldots dP_l$, với $c \in S^G$. (Áp dụng Mệnh đề 5.)

d) Chứng minh rằng các $\omega_I$ lập thành một cơ sở của $S^G$-môđun $E^G$. (Với ký hiệu trong b), nhân hai vế của quan hệ $a \omega = \sum_I c_I \omega_I$ với một phần tử $\omega_J$, rồi áp dụng c); suy ra rằng, nếu $I$ là phần bù của $J$, thì $a$ chia hết $c_I$; do đó$^9$ các $\omega_I$ sinh $E^G$.)

e) Gọi $S_n$ (tương ứng $L_m$) là thành phần thuần nhất của $S$ (tương ứng của $L$) bậc $n$ (tương ứng $m$). Đặt

Dùng d), chứng minh công thức trong đó $p_i = \deg(P_i)$.

(9) Để biết thêm chi tiết, xem L. SOLOMON, Invariants of finite reflection groups, Nagoya Math. Journal, v. XXII (1963), p. 57-64.

f) Nếu $g \in G$, gọi $\mathrm{Tr}_{n,m}(g)$ là vết của tự đẳng cấu của $E_{n,m}$ do $g$ xác định; đặt

Hãy chỉ ra rằng g) Đặt $q = \mathrm{Card}(G)$. Hãy chỉ ra rằng tức là (Dùng kết quả sau: nếu $G$ tác động trên một không gian vectơ hữu hạn chiều $E$, thì chiều của không gian các phần tử của $E$ bất biến dưới $G$ bằng $\frac{1}{q} \sum_{g \in G} \mathrm{Tr}_E(g)$.) Công thức này cho gì khi $Y = 0$? h) Với mọi số nguyên $p \geq 0$, gọi $H_p$ là tập hợp các phần tử $g \in G$ mà 1 là một trị riêng với bội số $p$. Đặt $h_p = \mathrm{Card}(H_p)$. Chứng minh công thức (Trong công thức ở g) trên đây, thay $Y$ bởi $-1 + T(1 - X)$ rồi sau đó đặt $X = 1$ trong kết quả. Nếu $g \in H_p$, số hạng $\mathrm{Tr}(X, Y)(g)$ trở thành $T^p$.)