Exercice 3, § 5

Soient K un corps de caractéristique zéro, V un K-espace vectoriel de dimension finie $l$, et G un sous-groupe de $\mathbf{GL}(V)$ engendré par des pseudo-réflexions. On pose $q = \mathrm{Card}(G)$; on note S (resp. L) l’algèbre symétrique (resp. l’algèbre extérieure) de V. Si $x \in V$, on note $x$ (resp. $x'$) son image canonique dans S (resp. dans L).

a) Soit $E = S \otimes L$ l’algèbre produit tensoriel de S et de L. Montrer qu’il existe sur E une dérivation $d$ et une seule telle que $dx = x'$ et $dx' = 0$ pour tout $x \in V$.

b) Soit $S^G$ l’algèbre des invariants symétriques de G et soient $P_1, \ldots, P_l$ des éléments homogènes de $S^G$ tels que $S^G = K[P_1, \ldots, P_l]$. Pour toute partie $I = \{i_1, \ldots, i_r\}$ avec $i_1 < \cdots < i_r$ de $\{1, l\}$ on pose :

(*) Comme l’a montré E. Vinberg, le groupe W correspondant à ce dernier graphe n’est pas un sous-groupe de type « arithmétique » du groupe G. La même situation se présente pour divers autres graphes de type hyperbolique (non compacts, cette fois), notamment pour les quatre derniers de l’exercice 16.

Montrer que les $\omega_1$ sont linéairement indépendants sur S, et qu’ils appartiennent à la sous-algèbre $E^G$ formée des éléments de E invariants par G. En déduire que, pour tout $\omega \in E^G$, il existe $a, c_I \in S^G$, avec $a \neq 0$, tels que

c) Montrer que tout élément de $E^G$ contenu dans $S \otimes \bigwedge^l V$ est de la forme $c . dP_1 \ldots dP_l$, avec $c \in S^G$. (Appliquer la prop. 5.)

d) Montrer que les $\omega_I$ forment une base du $S^G$-module $E^G$. (Avec les notations de b), on multiplie chaque membre de la relation $a \omega = \sum_I c_I \omega_I$ par un élément $\omega_J$, et on applique c); on en déduit que, si I est le complémentaire de J, $a$ divise $c_I$; d’où (*) le fait que les $\omega_I$ engendrent $E^G$.

e) Soit $S_n$ (resp. $L_m$) la composante homogène de degré $n$ (resp. $m$) de S (resp. L). On pose :

En utilisant d), démontrer la formule :

où $p_i = \deg(P_i)$.

f) Si $g \in G$, soit $\operatorname{Tr}_{n,m}(g)$ la trace de l’automorphisme de $E_{n,m}$ défini par $g$; on pose :

Montrer que l’on a :

g) Soit $q = \operatorname{Card}(G)$. Montrer que

i.e. (On utilisera le résultat suivant : si G opère sur un espace vectoriel E de dimension finie, la dimension de l’espace des éléments de E invariants par G est égale à $\frac{1}{q} \sum_{g \in G} \operatorname{Tr}_E(g)$). Que donne cette formule pour $Y = 0$?

h) Pour tout entier $p \geq 0$, soit $H_p$ l’ensemble des éléments $g \in G$ qui admettent 1 pour valeur propre avec une multiplicité égale à $p$. Soit $h_p = \operatorname{Card}(H_p)$. Démontrer la formule :

(Dans la formule de g) ci-dessus, remplacer Y par $-1 + T(1 - X)$, puis faire $X = 1$ dans le résultat. Si $g \in H_p$, le terme $\operatorname{Tr}(X,Y)(g)$ devient $T^p$.)

(*) Pour plus de détails, voir L. SOLOMON, Invariants of finite reflection groups, Nagoya Math. Journal, t. XXII (1963), p. 57-64.

EXERCICES