Bài tập 8, § 5

*Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường K, cho S là đại số đối xứng của V, và cho G là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(V)$. Giả sử

11Xem M. Auslander, On the purity of the branch locus, Amer. J. of Math., v. LXXXIV (1962), p. 116-125.

rằng đại số $S^G$ của các bất biến đối xứng của G là một đại số đa thức phân bậc.

a) Cho $u$ là một phần tử của không gian đối ngẫu $V^*$ của $V$, và cho $G_u$ là nhóm con của $G$ gồm các phần tử giữ $u$ bất biến. Chứng minh rằng $G_u$ được sinh bởi các phản xạ giả. (Dạng tuyến tính $u$ mở rộng thành một đồng cấu $f_u : S \to K$. Nếu $S_u$ ký hiệu vành địa phương của $S$ đối với hạt nhân của $f_u$; vành $S_u$ là chính quy. Kết luận bằng cách áp dụng Bài tập 7 b) cho $G_u$, được xem như một nhóm các tự đẳng cấu của $S_u$.) Đặc biệt, $G$ được sinh bởi các phản xạ giả.

b) Cho $A$ là một tập con của $V^*$, và cho $G_A = \bigcap_{u \in A} G_u$. Chứng minh rằng $G_A$ được sinh bởi các phản xạ giả. (Nếu cần thiết, mở rộng trường cơ sở, ta có thể giả sử rằng $K$ là vô hạn. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một phần tử $v$ của không gian con của $V^*$ sinh bởi $A$ sao cho $G_v = G_A$. Kết luận bằng cách áp dụng a) cho $v$.)