Exercice 8, § 5

*Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, soit S l’algèbre symétrique de V, et soit G un sous-groupe fini de $GL(V)$. On suppose que l’algèbre $S^G$ des invariants symétriques de G est une algèbre graduée de polynômes.

a) Soit $u$ un élément du dual $V^*$ de V, et soit $G_u$ le sous-groupe de G formé des éléments laissant $u$ invariant. Montrer que $G_u$ est engendré par des pseudo-réflexions. (La forme linéaire $u$ se prolonge en un homomorphisme $f_u : S \to K$. Si $S_u$ désigne l’anneau local de S par rapport au noyau de $f_u$, l’anneau $S_u$ est régulier. Conclure en appliquant l’exerc. 7 b) à $G_u$, considéré comme groupe d’automorphismes de $S_u$. En particulier, G est engendré par des pseudo-réflexions.

b) Soit A une partie de $V^*$, et soit $G_A = \bigcap_{u \in A} G_u$. Montrer que $G_A$ est engendré par des pseudo-réflexions. (Quitte à étendre le corps de base, on peut supposer K infini. Montrer qu’il existe alors un élément $v$ du sous-espace vectoriel de $V^*$ engendré par A tel que $G_v = G_A$. Conclure en appliquant a) à $v$.)*