Bài tập 1, § 4

Cho R là một hệ nghiệm kiểu $E_8$.

a) Chỉ ra rằng nếu $\alpha, \beta \in R$ đồng dư modulo $2\mathbf{Q}(R)$, thì $\beta = \pm \alpha$.

b) Suy ra từ a) rằng, nếu $w \in W(R)$ tác động tầm thường lên $\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$, thì $w = \pm 1$.

c) Với ký hiệu của no. 10, hãy chỉ ra rằng dạng toàn phương $\frac{1}{2}(x|x)$ trên $\mathbf{Q}(R)$ định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một dạng toàn phương không suy biến $q_8$ trên không gian vectơ $\mathbf{F}_2$ $\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$. Hãy chỉ ra rằng giả biệt thức của $q_8$ (xem Đại số, Chương IX, § 9. Bài tập 9) bằng không, và rằng $q_8$ có chỉ số 4.

d) Gọi $\mathbf{O}(q_8)$ là nhóm trực giao của $\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$ đối với dạng này. Hãy định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một đồng cấu

Hãy chỉ ra (bằng cách so sánh cấp) rằng dãy

là khớp.

e) Hãy chỉ ra rằng ảnh của $W^+(R)$ dưới $h$ là nhóm con $\mathbf{O}^+(q_8)$ của $\mathbf{O}(q_8)$ được định nghĩa trong Đại số, Chương IX, § 9. no. 5. Suy ra rằng $W^+(R)/\{1, -1\}$ là một nhóm đơn không Abel.