Exercice 1, § 4

Soit R un système de racines de type E_8. a) Montrer que si $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$ sont congrus modulo 2Q(R), on a $\beta = \pm \alpha$. b) Déduire de a) que, si $w \in W(R)$ opère trivialement dans Q(R)/2Q(R), on a $w = \pm 1$. c) Avec les notations du n° 10, montrer que la forme quadratique $\frac{1}{2} (x|x)$ sur Q(R) définit par passage au quotient une forme quadratique non dégénérée $q_8$ sur le $\mathbf{F}_2$-espace vectoriel Q(R)/2Q(R). Montrer que le pseudo-discriminant de $q_8$ (cf. Alg., chap. IX, § 9, exerc. 9) est nul, et que $q_8$ est d’indice 4. d) Soit O(q_8) le groupe orthogonal de Q(R)/2Q(R) pour cette forme. Définir, par passage au quotient, un homomorphisme

Montrer (en comparant les ordres) que la suite est exacte. e) Montrer que l’image par h de W^+(R) est le sous-groupe O^+(q_8) de O(q_8) défini dans Alg., chap. IX, § 9, n° 5. En déduire que W^+(R)/{1, -1} est un groupe simple non commutatif.