习题 1, § 4

令 R 为型 $E_8$ 中的根系。

a) 证明如果 $\alpha, \beta \in R$ 模 $2\mathbf{Q}(R)$ 全等，则 $\beta = \pm \alpha$。

b) 从a) 推导出，如果$w \in W(R)$ 对$\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$ 作用微不足道，则$w = \pm 1$。

c) 利用no. 10的记号，通过对$\mathbf{F}_2$向量空间上的非简并二次形式$q_8$的商来证明$\mathbf{Q}(R)$定义上的二次形式$\frac{1}{2}(x|x)$ $\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$。证明 $q_8$（cf. 代数，第 IX, § 9。练习 9）的伪判别式为零，并且 $q_8$ 为指标 4。

d) 令$\mathbf{O}(q_8)$ 为$\mathbf{Q}(R)/2\mathbf{Q}(R)$ 的正交群，对于这个形式。 定义，除以经过商，同态

显示（通过比较阶）序列

是准确的。

e) 证明$h$下的$W^+(R)$的像是代数第4章中定义的$\mathbf{O}(q_8)$的子群$\mathbf{O}^+(q_8)$。 IX, § 9。 no. 5。推断 $W^+(R)/\{1, -1\}$ 是一个简单的非阿贝尔群。