Bài tập 10, § 4

Nhãn 0AYU, cố định. Trích dẫn là [Bourbaki, Tag 0AYU].

Nhóm Lie và đại số Lie, VI

a) Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter hữu hạn bất khả quy. Đặt

W(t) = \sum_{w \in W} t^{l(w)} \quad (\text{x. Chương IV, } § 1, \text{ Bài tập 26.})

Gọi

m_1, \ldots, m_l

là các số mũ của

W

(Chương V, § 6, số 2). Hãy kiểm tra công thức

W(t) = \prod_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i})

với các giá trị nhỏ của

l

(dùng Định lý 1 và Bài tập 26 của Chương IV, § 1)\footnote{Để có một chứng minh của công thức này không dùng phép phân loại và đúng với mọi giá trị của

l

, xem: L. SOLOMON, The orders of the finite Chevalley groups, Journal of Algebra, Vol. III (1966), p. 376-393.}

b) Cho R là một hệ nghiệm thu gọn, bất khả quy và W (tương ứng $(W_a)$ ) là nhóm Weyl (tương ứng nhóm Weyl afin) của R, được trang bị cấu trúc nhóm Coxeter được xác định bởi lựa chọn một alcove. Định nghĩa $W(t)$ và các số mũ $m_i$ như trên và đặt

W_a(t) = \sum_{u \in W_a} t^{l(u)}.

Hãy kiểm tra công thức

W_a(t) = W(t) \prod_{i=1}^l \frac{1}{1 - t^{m_i}} = \prod_{i=1}^l \frac{1 + t + \cdots + t^{m_i}}{1 - t^{m_i}}

với các giá trị nhỏ của

l

(dùng Định lý 2 và Bài tập 26 của Chương IV, § 1)\footnote{Để có một chứng minh của công thức này không dùng phép phân loại và đúng với mọi giá trị của

l

, xem: R. BOTTE, An application of the Morse theory to the topology of Lie groups, Bull. Soc. Math. France, Vol. LXXXIV (1956), p. 251-281; N. IWAIHORI and H. MATSUMOTO, On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of

p

-adic Chevalley groups, Publ. Math. Inst. Hautes Et. Sci., số 25 (1965), p. 5-48.}

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Được trích dẫn bởi

Không có.

Bài tập 10, § 4

Được trích dẫn bởi

Trích dẫn đến