Bourbaki

习题 10, § 4

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李群与李代数, VI

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a) 令 (W,S)(W, S) 为不可约有限 Coxeter 系统。放

W(t)=∑w∈Wtl(w)(cf. Chap. IV, §1, Exerc. 26.) W(t) = \sum_{w \in W} t^{l(w)} \quad (\text{cf. Chap. IV, } § 1, \text{ Exerc. 26.})
令 m1,…,mlm_1, \ldots, m_l 为 WW 的指数（第 V, § 6, no. 2 章）。验证公式
W(t)=∏i=1l(1+t+⋯+tmi) W(t) = \prod_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i})
对于ll的小值（使用IV, § 1章的Th.1和Exerc.26）\脚注{对于不使用分类且对ll的所有值有效的此公式的证明，请参见：L。所罗门，有限 Chevalley 群的阶，*代数* 杂志，卷。 III (1966), p. 376-393.}

b) 令 R 为约化的、不可约的根系，W（分别为 (Wa)(W_a)）R 的 Weyl 群（分别为仿射 Weyl 群），配备由壁龛的选择确定的 Coxeter 群结构。 定义 W(t)W(t) 和指数 mim_i 如上并放入

Wa(t)=∑u∈Watl(u). W_a(t) = \sum_{u \in W_a} t^{l(u)}.
验证公式
Wa(t)=W(t)∏i=1l11−tmi=∏i=1l1+t+⋯+tmi1−tmi W_a(t) = W(t) \prod_{i=1}^l \frac{1}{1 - t^{m_i}} = \prod_{i=1}^l \frac{1 + t + \cdots + t^{m_i}}{1 - t^{m_i}}
对于ll的小值（使用第IV, § 1章的Th.2和Exerc.26）\脚注{对于不使用分类且对ll的所有值有效的此公式的证明，请参阅：R. BOTTE，应用程序莫尔斯理论到李群的拓扑，*公牛。苏克。数学。法国*，卷。 LXXXIV (1956), p. 251-281; N. IWAIHORI 和 H. MATSUMOTO，关于 pp-adic Chevalley 群的 Hecke 环的一些 Bruhat 分解和结构，*出版。数学。研究所。上等。科学*，no. 25 (1965)，p. 5-48.}。

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