Exercice 10, § 4

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Groupes et algèbres de Lie, VI

a) Soit $(W, S)$ un système de Coxeter fini et irréductible. Posons :

W(t) = \sum_{w \in W} t^{l(w)} \quad \text{(cf. chap. IV, § 1, exerc. 26).}

(*) Pour une démonstration n’utilisant pas la classification, voir : B. Kostant, The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group, Amer. J. of Maths., t. LXXXI (1959), p. 973-1032.

EXERCICES

Soient $m_1, \ldots, m_l$ les exposants de $W$ (chap. V, § 6, no 2). Vérifier, pour les petites valeurs de $l$ , la formule :

W(t) = \prod_{i=1}^l (1 + t + \cdots + t^{m_i})

(utiliser le th. 1 et l’exerc. 26 du chap. IV, § 1) (*).

b) Soient $R$ un système de racines réduit et irréductible et $W$ (resp. $W_a$ ) le groupe de Weyl (resp. le groupe de Weyl affine) de $R$ , muni de sa structure de groupe de Coxeter provenant du choix d’une alcôve. On définit $W(t)$ et les exposants $m_i$ comme ci-dessus et l’on pose :

W_a(t) = \sum_{w \in W_a} t^{l(w)}.

Vérifier, pour les petites valeurs de $l$ , la formule :

W_a(t) = W(t) \prod_{i=1}^l \frac{1}{1 - t^{m_i}} = \prod_{i=1}^l \frac{1 + t + \cdots + t^{m_i}}{1 - t^{m_i}}

(utiliser le th. 2 et l’exerc. 26 du chap. IV, § 1) (**).

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