Bài tập 12, § 4

Cho (1, i, j, k) là cơ sở chính tắc của trường H các quaternion, nhờ đó H được đồng nhất với $\mathbf{R}^4$. Trang bị cho H tích vô hướng $\frac{1}{2}(x \bar{y} + y \bar{x})$. Gọi $\Gamma$ là nhóm nhân của các quaternion có chuẩn 1.

a) Nếu $a \in \Gamma$, phép đối xứng trực giao $s_a$ trong H biến a thành -a là ánh xạ $x \mapsto -a \bar{x} a$.

b) Đặt $q = \cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}i + (\cos \frac{3\pi}{5})j \in \Gamma$, và $r = \frac{1}{2}(1 + i + j + k) \in \Gamma$. Gọi Q là tập hợp các quaternion thu được từ 1, q, r bằng các hoán vị chẵn tùy ý và các phép đổi dấu các tọa độ. Khi đó Q là một nhóm con của $\Gamma$ có cấp 120.

c) Gọi W là nhóm con của $\mathbf{GL}(H)$ sinh bởi các $s_a$ với $a \in Q$. Chứng minh rằng W giữ Q ổn định, là hữu hạn, bất khả quy, và phi tinh thể; suy ra W thuộc kiểu H_4 (x. Định lý 1).

d) Chứng minh rằng W tác động bắc cầu trên Q (dùng Mệnh đề 3 của Chương IV, § 1).

e) Gọi $a_0 \in Q$, gọi V là không gian con vectơ của H trực giao với $a_0$, và gọi $W_0$ là bộ ổn định của $a_0$ trong W. Chứng minh rằng hạn chế của $W_0$ lên V là một nhóm bất khả quy sinh bởi các phép đối xứng (Chương V, § 3, no. 3) và rằng nó là phi tinh thể. Suy ra $W_0$ là một nhóm Coxeter kiểu H_3.

f) Chứng minh rằng Card(W) = $2^6 3^2 5^2$ (dùng d), e) và Bài tập 11).

g) Chứng minh rằng số Coxeter của W bằng 30, và các số mũ của nó là 1, 11, 19, 29.