Exercice 12, § 4

Soit (1, i, j, k) la base canonique du corps $\mathbf{H}$ des quaternions, à l’aide de laquelle on identifie $\mathbf{H}$ à $\mathbf{R}^4$. On munit $\mathbf{H}$ du produit scalaire $\frac{1}{2} (x \overline{y} + y \overline{x})$. Soit $\Gamma$ le groupe multiplicatif des quaternions de norme 1.

a) Si $a \in \Gamma$, la réflexion orthogonale $s_a$ dans $\mathbf{H}$ qui transforme $a$ en $-a$ est l’application $x \mapsto -axa$.

(*) Pour une démonstration de cette formule n’utilisant pas la classification et valable pour toutes les valeurs de $l$, voir : L. SOLOMON, The orders of the finite Chevalley groups, Journal of Algebra, t. III (1966), p. 376-393.

(**) Pour une démonstration de cette formule n’utilisant pas la classification et valable pour toutes les valeurs de $l$, voir : R. BOTT, An application of the Morse theory to the topology of Lie groups, Bull. Soc. Math. France, t. LXXXIV (1956), p. 251-281; N. IWAHORI et H. MATSUMOTO, On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of $p$-adic Chevalley groups, Publ. Math. Inst. Hautes Et. Sci., no 25 (1965), p. 5-48.

b) Soient $q = \cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} i + (\cos \frac{3\pi}{5}) j \in \Gamma$, et $r = \frac{1}{2} (1 + i + j + k) \in \Gamma$. Soit $Q$ l’ensemble des quaternions déduits de 1, $q, r$ par permutations paires sur les coordonnées et changements de signes quelconques sur les coordonnées. Alors $Q$ est un sous-groupe de $\Gamma$ d’ordre 120.

c) Soit $W$ le sous-groupe de $\mathbf{GL}(H)$ engendré par les $s_a$ pour $a \in Q$. Montrer que $W$ laisse stable $Q$, est fini, irréductible, et non cristallographique; en déduire que $W$ est de type $H_4$ (cf. théorème 1).

d) Montrer que $W$ opère transitivement sur $Q$ (utiliser la prop. 3 du chap. IV, § 1.)

e) Soit $a_0 \in Q$, soit $V$ le sous-espace vectoriel de $H$ orthogonal à $a_0$, et soit $W_0$ le stabilisateur de $a_0$ dans $W$. Montrer que la restriction de $W_0$ à $V$ est un groupe irréductible, engendré par des réflexions (chap. V, § 3, no 3) et non cristallographique. En déduire que $W_0$ est un groupe de Coxeter de type $H_3$.

f) Montrer que $\mathrm{Card} (W) = 2^6 3^2 5^2$ (utiliser $d$, $e$) et l’exercice 11).

g) Montrer que le nombre de Coxeter de $W$ est égal à 30, et que ses exposants sont 1, 11, 19, 29.