习题 12, § 4

设(1,i,j,k)为四元数域H中的典范基，由此H可与$\mathbf{R}^4$等同。为 H 配备标量乘积 $\frac{1}{2}(x \bar{y} + y \bar{x})$。令 $\Gamma$ 为范数 1 的四元数的乘法群。

a) 如果$a \in \Gamma$，H 中的正交反射$s_a$，其中变换 a 到-a 为映射 $x \mapsto -a \bar{x} a$。

b) 令 $q = \cos \frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}i + (\cos \frac{3\pi}{5})j \in \Gamma$ 和 $r = \frac{1}{2}(1 + i + j + k) \in \Gamma$。令 Q 为由 1、q、r 通过任意偶数置换和坐标符号变换获得的四元数中的集合。那么Q就是阶120$\Gamma$子群。

c) 令 W 为 $a \in Q$ 的 $s_a$ 生成的 $\mathbf{GL}(H)$ 的子群。表明 W 使 Q 保持稳定，是有限的、不可约的且非晶体的；推导出 W 为型 H_4 (cf. 定理 1)。

d) 证明 W 对 Q 具有传递作用（使用第 IV, § 1 章的命题 3）。

e) 设$a_0 \in Q$，令V为与$a_0$正交的H的向量子空间，并令$W_0$为W中$a_0$的稳定子。证明$W_0$的限制为V 是由反射生成的不可约群（第 V, § 3, no. 3 章）并且它是非晶体的。推断 $W_0$ 是型 H_3 的 Coxeter 群。

f) 显示 Card(W) = $2^6 3^2 5^2$（使用 d）、e）和 Exerc。 11）。

g) 证明 W 的 Coxeter 数等于 30，其指数为 1, 11, 19, 29。