Bài tập 16, § 4

Cho (W, S) là một hệ Coxeter hữu hạn, bất khả quy, và cho $n = \mathrm{Card}(S)$.

a) Nếu (W, S) không thuộc kiểu $F_4$, hãy chứng minh rằng tồn tại một tập con X của S có $n-1$ phần tử sao cho $(W_X, X)$ thuộc kiểu $A_{n-1}$.

b) Đồng nhất W với một nhóm con của $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ bằng biểu diễn chính tắc (Chương V, § 4). Hãy chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(e_1, \ldots, e_n)$ của $\mathbf{R}^S$ sao cho, với mọi phép hoán vị $\sigma \in S_n$, tự đẳng cấu của $\mathbf{R}^S$ biến đổi $e_i$ thành $e_{\sigma(i)}$ với $1 \leq i \leq n$ thuộc W ("Định lý Burnside"). (Khi (W, S) không thuộc kiểu $F_4$, sử dụng a); khi nó thuộc kiểu $F_4$, nhận xét rằng W chứa một nhóm con thuộc kiểu $D_4$ (xem no. 9), điều này quy bài toán về trường hợp trước đó.)

c) Cho E là một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của (W, S). Hãy chứng minh rằng tích nửa trực tiếp E.W của E bởi W nhúng một cách chính tắc vào $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$. Hãy chứng minh rằng nhóm con của $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ được xác định như vậy được sinh bởi các phản xạ, ngoại trừ bốn trường hợp sau:

(i) (W, S) thuộc kiểu $A_n$, $n \geq 4$: nhóm E có cấp 2.

(ii) (W, S) thuộc kiểu $D_4$: nhóm E có cấp 3.

(iii) (W, S) thuộc kiểu $F_4$: nhóm E có cấp 2.

(iv) (W, S) thuộc kiểu $E_6$: nhóm E có cấp 2.

Hãy chứng minh rằng, trong các trường hợp (i) và (iv), $E.W = \{ \pm 1 \} \times W$. Hãy chứng minh rằng, trong trường hợp (iii), nhóm E.W không ổn định bất kỳ dàn nào trong $\mathbf{R}^S$.

d) Cho $W_1$ là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$ được sinh bởi các phản xạ, và giả sử rằng $W_1$ là bất khả quy và cốt yếu. Cho G là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$ chứa $W_1$. Hãy chứng minh rằng hoặc G được sinh bởi các phản xạ hoặc có dạng E.W, trong đó E và W là một trong các kiểu (i), (ii), (iii), (iv) của c).

(Cho W là nhóm được sinh bởi các phản xạ thuộc G. Nhóm G hoán vị các buồng đối với W. Suy ra, như trong § 2, no. 3, rằng G có dạng E.W như trên.)