Exercice 16, § 4

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter fini et irréductible, et soit $n = \mathrm{Card} (S)$. a) Si $(W, S)$ n’est pas de type $F_4$, montrer qu’il existe une partie $X$ de $S$ à $n - 1$ éléments telle que $(W_X, X)$ soit de type $A_{n-1}$. b) On identifie $W$ à un sous-groupe de $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ au moyen de la représentation canonique (chap. V, § 4). Montrer qu’il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\mathbf{R}^S$ telle que, pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, l’automorphisme de $\mathbf{R}^S$ transformant $e_i$ en $e_{\sigma(i)}$ pour $1 \leq i \leq n$ appartienne à $W$ (« théorème de Burnside »). (Lorsque $(W, S)$ n’est pas de type $F_4$, utiliser $a$); lorsqu’il est de type $F_4$, remarquer que $W$ contient un sous-groupe de type $D_4$ (cf. no 9), ce qui ramène le problème au cas précédent.) c) Soit $E$ un sous-groupe du groupe d’automorphismes de $(W, S)$. Montrer que le produit semi-direct $E.W$ de $E$ par $W$ se plonge de façon canonique dans $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$. Montrer que le sous-groupe de $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ ainsi défini est engendré par des réflexions, sauf dans les quatre cas suivants : (i) $(W, S)$ est de type $A_n, n \geq 4$; le groupe $E$ est d’ordre 2. (ii) $(W, S)$ est de type $D_4$; le groupe $E$ est d’ordre 3. (iii) $(W, S)$ est de type $F_4$; le groupe $E$ est d’ordre 2. (iv) $(W, S)$ est de type $E_6$; le groupe $E$ est d’ordre 2.

Montrer que, dans les cas (i) et (iv), on a $E.W = \{ \pm 1 \} \times W$. Montrer que, dans le cas (iii), le groupe $E.W$ ne laisse stable aucun réseau de $\mathbf{R}^S$.

d) Soit $W_1$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$ engendré par des réflexions, irréductible et essentiel. Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$ contenant $W_1$. Montrer que $G$ est, soit engendré par des réflexions, soit de la forme $E.W$, où $E$ et $W$ sont de l’un des types (i), (ii), (iii), (iv) de c). (Soit $W$ le groupe engendré par les réflexions appartenant à $G$. Le groupe $G$ permutte entre elles les chambres relatives à $W$. En déduire, comme au § 2, no 3, que $G$ est de la forme $E.W$ comme ci-dessus.)