习题 16, § 4

令 (W, S) 为不可约的有限 Coxeter 系统，并令 $n = \mathrm{Card}(S)$。

a) 如果 (W, S) 不属于型 $F_4$，则证明 S 存在子集 X 且$n-1$ 元素，使得$(W_X, X)$ 型 $A_{n-1}$。

b) 认同 W 与子群或 $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ 通过规范的表示（第 V, § 4 章）。证明存在$\mathbf{R}^S$的基$(e_1, \ldots, e_n)$，使得对于每个置换$\sigma \in S_n$，$\mathbf{R}^S$的自同构，对于$1 \leq i \leq n$，变换$e_i$到$e_{\sigma(i)}$ 属于至 W（“伯恩赛德定理”）。 （当（W，S）不是型$F_4$时，使用a）；当它是型$F_4$时，注即型$D_4$的W包含子群（cf.no. 9），其中约化问题与前面的情况相同。）

c) 令 E 为 (W, S) 的自同构的群的子群。证明 E 乘 W 的半直接乘积 E.W 以规范方式嵌入到 $\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$ 中。证明这样定义的$\mathbf{GL}(\mathbf{R}^S)$的子群是由反射生成的，除了以下四种情况：

(i) (W, S) 为型 $A_n$, $n \geq 4$: 群 E 为阶 2。

(ii) (W, S) 为型 $D_4$： 群 E 为阶 3。

(iii) (W,S) 为型 $F_4$： 群 E 为阶 2。

(iv) (W, S) 为型 $E_6$： 群 E 为阶 2。

证明，在情况 (i) 和 (iv) 中，$E.W = \{ \pm 1 \} \times W$。证明，在情况 (iii) 中，群 E.W 不会在 $\mathbf{R}^S$ 中留下稳定的任何格子。

d) 令$W_1$为由反射生成的$\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$的有限子群，并假设$W_1$是不可约且本质的。设 G 为 $\mathbf{GL}_n(\mathbf{R})$ 包含 $W_1$ 的有限子群。证明 G 是由反射生成的，或者是形式 E.W，其中 E 和 W 是 c) 的型 (i)、(ii)、(iii)、(iv) 之一。

（令 W 为由属于到 G 的反射生成的群。群 G 相对于 W 排列腔室。如§ 2, no. 3 所示，推断出 G 是形式 E.W，如上所述。）