Bài tập 2, § 4

Cho R là một hệ nghiệm kiểu $E_6$.

a) Đặt $E = \mathbf{Q}(R)/3\mathbf{P}(R)$. Đây là một không gian vectơ trên $\mathbf{F}_3$ có chiều 5. Với ký hiệu của no. 12, hãy chỉ ra rằng tích vô hướng $(x|y)$ định nghĩa trên E một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến $\varphi$. Hãy chỉ ra rằng hai phần tử phân biệt bất kỳ của R có các ảnh phân biệt trong E.

b) Gọi $\mathbf{O}(\varphi)$ là nhóm trực giao của $\varphi$. Khi đó, $\mathbf{O}(\varphi) = \{1, -1\} \times \mathbf{SO}(\varphi)$. Chuẩn spinor định nghĩa một đồng cấu toàn ánh từ $\mathbf{SO}(\varphi)$ đến $\{1, -1\}$ có hạt nhân được ký hiệu bởi $\mathbf{SO}^+(\varphi)$. Nhóm $\mathbf{SO}^+(\varphi)$ là đơn có cấp 25920. Nhóm thương $\mathbf{O}(\varphi)/\mathbf{SO}^+(\varphi)$ có kiểu (2, 2). Suy ra rằng $\mathbf{O}(\varphi)$ chứa một nhóm con duy nhất $\Omega(\varphi)$ có chỉ số 2, phân biệt với $\mathbf{SO}(\varphi)$ và không chứa $-1$.

c) Mọi phần tử của $A(R)$ định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một phần tử của $\mathbf{O}(\varphi)$. Hãy chỉ ra (bằng cách so sánh các cấp) rằng điều này cho một đồng cấu từ $A(R)$ đến $\mathbf{O}(\varphi)$. Ảnh của $W(R)$ qua đồng cấu này là $\Omega(\varphi)$, và ảnh của $W^+(R)$ là $SO^+(\varphi)$. Do đó, $W(R)$ là một mở rộng của $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ bởi một nhóm đơn có cấp 25920.

d) Đặt $F = Q(R)/2Q(R)$. Đây là một không gian vectơ trên $\mathbf{F}_2$ có chiều 6. Hãy chỉ ra rằng dạng toàn phương $\frac{1}{2}(x|x)$ định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một dạng toàn phương không suy biến $q_6$ trên $F$, có biệt thức giả bằng 1. Nếu $O(q_6)$ ký hiệu nhóm trực giao tương ứng, hãy định nghĩa, bằng cách chuyển qua thương, một đồng cấu

Hãy chỉ ra rằng $h$ là đơn ánh (chú ý rằng $-1 \notin W(R)$), rồi rằng nó là một đẳng cấu (so sánh các cấp). Suy ra rằng có một đẳng cấu từ $W^+(R)$ đến $O^+(q_6)$ (xem Đại số, Chương IX, § 9, no. 5).

e) Bằng cách so sánh c) và d), hãy chỉ ra$^1$ rằng $SO^+(\varphi)$ là đẳng cấu với $O^+(q_6)$.