Exercice 2, § 4

Soit R un système de racines de type E_6. a) On pose E = Q(R)/3P(R). C’est un $\mathbf{F}_3$-espace vectoriel de dimension 5. Avec les notations du n° 12, montrer que le produit scalaire $(x|y)$ définit sur E une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $\varphi$. Montrer que deux éléments distincts de R ont des images distinctes dans E. b) Soit O(\varphi) le groupe orthogonal de $\varphi$. On a $O(\varphi) = \{1, -1\} \times SO(\varphi)$. La norme spinorielle définit un homomorphisme surjectif de SO(\varphi) sur {1, -1} dont le noyau est noté

(*) Cet exercice, inédit, nous a été communiqué par R. Steinberg.

SO⁺(φ). Le groupe SO⁺(φ) est simple d’ordre 25920. Le quotient O(φ)/SO⁺(φ) est de type (2,2). En déduire que O(φ) contient un sous-groupe et un seul Ω(φ) d’indice 2, distinct de SO(φ) et ne contenant pas − 1.

c) Tout élément de A(R) définit par passage au quotient un élément de O(φ). Montrer (en comparant les ordres) que l’on obtient ainsi un isomorphisme de A(R) sur O(φ). L’image de W(R) par cet isomorphisme est Ω(φ), celle de W⁺(R) est SO⁺(φ). Ainsi W(R) est extension de Z/2Z par un groupe simple d’ordre 25920.

d) Soit F = Q(R)/2Q(R). C’est un F₂-espace vectoriel de dimension 6. Montrer que la forme quadratique $\frac{1}{2} (x|x)$ définit par passage au quotient une forme quadratique q₆ non dégénérée sur F, de pseudo-discriminant égal à 1. Si O(q₆) désigne le groupe orthogonal correspondant, définir, par passage au quotient, un homomorphisme

Montrer que h est injectif (noter que − 1 ∉ W(R)), puis que c’est un isomorphisme (comparer les ordres). En déduire un isomorphisme de W⁺(R) sur O⁺(q₆) (cf. Alg., chap. IX, § 9, n° 5).

e) En comparant c) et d), montrer (*) que SO⁺(φ) est isomorphe à O⁺(q₆).