习题 2, § 4

令 R 为型 $E_6$ 中的根系。

a) 输入$E = \mathbf{Q}(R)/3\mathbf{P}(R)$。这是一个维数 5 的 $\mathbf{F}_3$ 向量空间。使用 no. 12 的记号，证明 E 上的标量乘积 $(x|y)$ 定义是非简并对称双线性形式 $\varphi$。证明 R 的任何两个不同的元素在 E 中都有不同的像。

b) 令$\mathbf{O}(\varphi)$为$\varphi$的正交群。然后，$\mathbf{O}(\varphi) = \{1, -1\} \times \mathbf{SO}(\varphi)$。从$\mathbf{SO}(\varphi)$到$\{1, -1\}$的旋量范数定义满同态，其核用$\mathbf{SO}^+(\varphi)$表示。 群 $\mathbf{SO}^+(\varphi)$ 是阶 25920 的简数。$\mathbf{O}(\varphi)/\mathbf{SO}^+(\varphi)$ 的商是型 (2, 2)。推断 $\mathbf{O}(\varphi)$ 包含是指标 2 中唯一的子群 $\Omega(\varphi)$，与 $\mathbf{SO}(\varphi)$ 不同，而不是包含 $-1$。

c) $A(R)$ 定义的每元素，通过计算$\mathbf{O}(\varphi)$ 的商元素。显示（通过比较阶）这给出了从 $A(R)$ 到 $\mathbf{O}(\varphi)$ 的同态。这个同态下的$W(R)$的像是$\Omega(\varphi)$，$W^+(R)$的$SO^+(\varphi)$。因此，$W(R)$ 是 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 的扩张，乘以阶 25920 的简单群。

d) 设 $F = Q(R)/2Q(R)$。这是维数 6 的 $\mathbf{F}_2$ 向量空间。通过将伪判别式的 $F$ 上的非简并二次形式 $q_6$ 的商表示为 1，证明二次形式 $\frac{1}{2}(x|x)$ 定义等于 1。 $O(q_6)$ 表示相应的与群、定义正交，通过经过得到商，同态

证明$h$是单射的（注即$-1 \notin W(R)$），然后证明它是同构（比较阶）。推断从$W^+(R)$到$O^+(q_6)$有同构（cf.代数，第IX, § 9, no. 5章）。

e) By comparing c) and d), show$^1$ that $SO^+(\varphi)$ is isomorphic to $O^+(q_6)$.