Bài tập 2, Phụ lục 2

Cho V là một không gian vectơ thực có số chiều hữu hạn $n$, và F là một hàm đa thức trên V có bậc $d$. Gọi $V'$ là tập hợp các điểm của V tại đó $F\not= 0$. Hãy chỉ ra rằng số các thành phần liên thông của $V'$ là hữu hạn và bị chặn bởi một hằng chỉ phụ thuộc vào $n$ và $d$. (Lập luận bằng quy nạp theo $n$. Rút gọn về trường hợp trong đó F không có ước bội, và chỉ ra rằng V có thể được phân tích thành $\mathbf{R}\times X$ sao cho các kết quả của Bài tập 1 áp dụng được cho $F.$)$^{10}$

$^{10}$Để biết các kết quả khác theo cùng hướng, xem J. MILNOR, On the Betti numbers of

real varieties, Proc. Amer. Math. Soc., Vol. XV (1964), pp. 275-280.