Exercice 2, Annexe 2

Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie $n$, et F une fonction polynomiale sur V de degré $d$. Soit V' l'ensemble des points de V en lesquels F $\neq 0$. Montrer que les composantes connexes de V' sont en nombre fini, et que ce nombre est borné par une constante ne dépendant que de $n$ et de $d$. (Raisonner par récurrence sur $n$. Se ramener au cas où F est sans facteurs multiples, et montrer que l'on peut décomposer V sous la forme $\mathbf{R} \times X$ de telle sorte que les résultats de l'exerc. 1 soient applicables à F.)$^1$

$^1$ Pour d'autres résultats dans la même direction, cf. J. Milnor, On the Betti numbers of real varieties, Proc. Amer. Math. Soc., t. XV (1964), p. 275–280.