Bài tập 10, § 3

. Kết luận rằng $x$ thuộc vô hạn nhiều đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$.

d) Một phần tử của $\mathfrak{g}$ là chính quy khi và chỉ khi nó thuộc một đại số con Cartan duy nhất.

$\P 10)$ Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathfrak{r}$ là căn của nó, $\mathfrak{n}$ là iđêan lũy linh lớn nhất của nó và $\mathfrak{a}$ là một trong các đại số con Levi của nó.

a) Đặt $\mathfrak{g}'=\mathfrak{n}+\mathscr{D}\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{g}'=\mathfrak{n}\oplus \mathfrak{a}$. (Dùng sự kiện rằng $[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ được chứa trong $\mathfrak{n}.$) Nếu $\mathfrak{g}\not= 0$, thì $\mathfrak{g}'\not= 0$.

b) Giả sử rằng $k$ đóng đại số. Gọi $(V_i)_{i\in I}$ là các thương của một dãy Jordan-Hölder của $\mathfrak{g}$-môđun $\mathfrak{g}$ (với biểu diễn phụ hợp). Nếu $x\in \mathfrak{r}$, chứng minh rằng $x_{V_i}$ là một phép vị tự và rằng $x_{V_i}= 0$ với mọi $i$ khi và chỉ khi $x$ thuộc $\mathfrak{n}$. Suy ra rằng một phần tử $y\in \mathfrak{g}$ thuộc $\mathfrak{g}'$ khi và chỉ khi Tr($y_{V_i}$) $= 0$ với mọi $i\in I$.

c) Kí hiệu bởi N không gian con vectơ của $\mathfrak{g}$ sinh bởi các phần tử $x$ sao cho ad $x$ lũy linh. Chứng minh rằng N là một đại số con của $\mathfrak{g}$ (dùng sự kiện rằng N ổn định dưới Aut$_e(\mathfrak{g})$). Chứng minh, bằng cách dùng b), rằng $N\subset \mathfrak{g}'$.

d) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$. Giả sử rằng tồn tại một tập con R của $\mathfrak{h}^*$ sao cho

một giả thiết được thỏa mãn, đặc biệt, nếu $k$ đóng đại số. Chứng minh rằng khi đó N chứa các $\mathfrak{g}^{\alpha}(\mathfrak{h}),\mathscr{D}\mathfrak{h}$ và $\mathfrak{n}$; suy ra rằng N chứa $\mathfrak{g}'$, do đó $N =\mathfrak{g}'$.

e) Nếu $k$ đóng đại số và $\mathfrak{g}\not= 0,\mathfrak{g}$ chứa một phần tử $x\not= 0$ sao cho ad $x$ lũy linh. (Thật vậy, khi đó ta có $\mathfrak{g}'\not= 0.$)