Exercice 10, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie, $r$ son radical, $n$ son plus grand idéal nilpotent et $a$ une de ses sous-algèbres de Levi. a) On pose $g' = n + \mathscr{D}g$. Montrer que $g' = n \oplus a$. (Utiliser le fait que $[g, r]$ est contenu dans $n$.) Si $g \neq 0$, on a $g' \neq 0$. b) On suppose $k$ algébriquement clos. Soient $(V_i)_{i \in I}$ les quotients d’une suite de Jordan–Hölder du $g$-module $g$ (pour la représentation adjointe). Si $x \in r$, montrer que $x_{V_i}$ est une homothétie et que $x_{V_i} = 0$ pour tout $i$ si et seulement si $x$ appartient à $n$. En déduire qu’un élément $y \in g$ appartient à $g'$ si et seulement si $\operatorname{Tr}(y_{V_i}) = 0$ pour tout $i \in I$. c) On note $N$ le sous-espace vectoriel de $g$ engendré par les éléments $x$ tels que $\operatorname{ad} x$ soit nilpotent. Montrer que $N$ est une sous-algèbre de $g$ (utiliser le fait que $N$ est stable par $\operatorname{Aut}_e(g)$). Montrer, en utilisant $b$), que l’on a $N \subset g'$. d) Soit $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$. On suppose qu’il existe une partie $R$ de $h^*$ telle que

hypothèse qui est en particulier vérifiée si $k$ est algébriquement clos. Montrer que $N$ contient alors les $g^\alpha(h)$, $\mathscr{D}h$ et $n$; en déduire que $N$ contient $g'$, d’où $N = g'$. c) Si $k$ est algébriquement clos et $g \neq 0$, $g$ contient un élément $x \neq 0$ tel que $\operatorname{ad} x$ soit nilpotent. (En effet, on a alors $g' \neq 0$.)