Bài tập 12, § 3

a) Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie giải được, và G là một nhóm con hữu hạn (tương ứng nhóm con compact nếu $k=\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$) của Aut($\mathfrak{g}$). Hãy chứng minh rằng tồn tại một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ ổn định dưới tác động của G. (Lập luận bằng quy nạp theo dim $\mathfrak{g}$, và rút gọn về

$^7$ Để biết thêm chi tiết, cf. J. DIXMIER, Sous-algèbres de Cartan et décompositions de Levi dans les algèbres de Lie, Trans. Royal Soc. Canada, Vol. L (1956), pp. 17-21. trường hợp trong đó $\mathfrak{g}$ là một mở rộng của một đại số lũy linh $\mathfrak{g}/\mathfrak{n}$ bởi một iđêan giao hoán $\mathfrak{n}$ là một $\mathfrak{g}/\mathfrak{n}$-môđun đơn không tầm thường (xem chứng minh của Đl. 3). Các đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ khi đó tạo thành một không gian affine gắn với $\mathfrak{n}$, trên đó G tác động. Kết luận bằng một lập luận với trọng tâm.)

b) Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie giải được và $\mathfrak{s}$ là một đại số con Lie của Der($\mathfrak{g}$). Giả sử rằng $\mathfrak{s}$-môđun $\mathfrak{g}$ là nửa đơn. Hãy chứng minh rằng tồn tại một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ ổn định dưới tác động của $\mathfrak{s}$. (Cùng phương pháp.)