Exercice 12, § 3

a) Soient $g$ une algèbre de Lie résoluble, et $G$ un sous-groupe fini (resp. compact si $k = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$) de $\mathrm{Aut}(g)$. Montrer qu'il existe une sous-algèbre de Cartan de $g$ stable par $G$. (Raisonner par récurrence sur $\dim g$, et se ramener au cas où $g$ est extension d'une algèbre nilpotente $g/n$ par un idéal commutatif $n$ qui est un $g/n$-module simple non trivial (cf. dém. du th. 3). Les sous-algèbres de Cartan de $g$ forment alors un espace affine attaché à $n$, sur lequel $G$ opère. Conclure par un argument de barycentre.) b) Soient $g$ une algèbre de Lie résoluble, et $s$ une sous-algèbre de Lie de $\mathrm{Der}(g)$. On suppose que le $s$-module $g$ est semi-simple. Montrer qu'il existe une sous-algèbre de Cartan de $g$ stable par $s$. (Même méthode.)