Bài tập 13, § 3

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie và G là một nhóm con hữu hạn của Aut($\mathfrak{g}$). Giả sử rằng G là siêu giải được (Đại số, Chap. I, §6, Exerc. 26). Hãy chứng minh rằng tồn tại một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ ổn định dưới G.

(Lập luận bằng quy nạp theo dim$\mathfrak{g}$. Sử dụng Exerc. 12, rút gọn về trường hợp $\mathfrak{g}$ là nửa đơn. Nếu $G\not=\{1\}$, chọn một nhóm con chuẩn C của G là xyclic có cấp nguyên tố (Đại số, loc. cit.). Đại số con $\mathfrak{s}$ gồm các phần tử bất biến dưới C là khả quy trong $\mathfrak{g}($§1, no. 5), và phân biệt với $\mathfrak{g}$. Theo giả thiết quy nạp, $\mathfrak{s}$ có một đại số con Cartan $\mathfrak{a}$ ổn định dưới G. Ta có $\mathfrak{s}\not= 0$ (Chap. I, §4, Exerc. $21c$)), do đó $\mathfrak{a}\not= 0$. Hoán tập $\mathfrak{z}$ của $\mathfrak{a}$ trong $\mathfrak{g}$ phân biệt với $\mathfrak{g}$ và ổn định dưới G; chọn một đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{z}$ ổn định dưới G, và chứng minh rằng $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, xem Hệ quả của Mệnh đề 3.)

Xây dựng một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbf{C})$ đẳng cấu với $\mathfrak{A}_4$ (và do đó giải được) và không để lại bất kỳ đại số con Cartan nào ổn định.