Exercice 13, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{Aut}(g)$. On suppose que $G$ est hyper-résoluble (A, I, p. 139, exerc. 26). Montrer qu'il existe une sous-algèbre de Cartan de $g$ stable par $G$. (Raisonner par récurrence sur $\dim g$. Se ramener, grâce à l'exerc. 12, au cas où $g$ est semi-simple. Si $G \neq \{1\}$, choisir un sous-groupe distingué $C$ de $G$ cyclique d'ordre premier (A, loc. cit.). La sous-algèbre $s$ formée des éléments invariants par $C$ est réductive dans $g$ (§ 1, n° 5), et distincte de $g$. Vu l'hypothèse de récurrence, $s$ possède une sous-algèbre de Cartan $a$ stable par $G$. On a $s \neq 0$ (I, § 4, exerc. 21 c)), d'où $a \neq 0$. Le commutant $z$ de $a$ dans $g$ est distinct de $g$ et stable par $G$; choisir une sous-algèbre de Cartan $h$ de $z$ stable par $G$, et montrer que $h$ est une sous-algèbre de Cartan de $g$, cf. cor. à la prop. 3.) Construire un groupe fini d'automorphismes de $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$ qui soit isomorphe à $\mathfrak{a}_4$ (donc résoluble) et ne laisse stable aucune sous-algèbre de Cartan.