Bài tập 16, § 3

Cho V là một $k$-không gian vectơ hữu hạn chiều, và $\mathfrak{g}$ là một đại số con Lie của $\mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$. Ta sẽ chứng minh rằng ba tính chất sau là tương đương: (i) Các đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ là giao hoán và gồm các phần tử nửa đơn.

(ii) Mọi phần tử chính quy của $\mathfrak{g}$ đều là nửa đơn.

(iii) Các phần tử nửa đơn của $\mathfrak{g}$ là trù mật trong $\mathfrak{g}$ đối với tôpô Zariski. a) Chứng minh rằng (i) $=\Rightarrow$ (ii) $=\Rightarrow$ (iii).

b) Gọi A là tập hợp các phần tử nửa đơn của $\mathfrak{g}$. Chứng minh rằng A ổn định dưới Aut$_e(\mathfrak{g})$. c) Chứng minh rằng (iii) $=\Rightarrow$ (i). (Rút gọn (Phụ lục I, Bài tập 1) về trường hợp $k$ đóng đại số. Nếu $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, hãy chứng minh, bằng cách dùng Bài tập 15, rằng $A\cap \mathfrak{h}$ là trù mật trong $\mathfrak{h}$; vì $[x, y] = 0$ nếu $x\in A\cap \mathfrak{h}, y\in \mathfrak{h}$, suy ra rằng $\mathfrak{h}$ là giao hoán, từ đó (i) suy ra ngay lập tức.)

d) Giả sử rằng $k$ là $\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc một trường ultrametric đầy đủ không-rời-rạc có đặc số không. Trang bị cho $\mathfrak{g}$ tôpô do tôpô của $k$ xác định. Chứng minh rằng các tính chất (i), (ii), (iii) là tương đương với tính chất sau:

(iv) Các phần tử nửa đơn của $\mathfrak{g}$ là trù mật trong $\mathfrak{g}$.

(Hãy chứng minh rằng (iv) $=\Rightarrow$ (iii) và (ii) $=\Rightarrow$ (iv), xem Phụ lục I, Bài tập 4.)