Exercice 16, § 3

Soient $V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie, et $g$ une sous-algèbre de Lie de $\mathrm{gl}(V)$. On se propose de montrer l'équivalence des trois propriétés suivantes: (i) Les sous-algèbres de Cartan de $g$ sont commutatives et formées d'éléments semi-simples. (ii) Tout élément régulier de $g$ est semi-simple. (iii) Les éléments semi-simples de $g$ sont denses dans $g$ pour la topologie de Zariski.

1 Pour plus de détails, cf. J. Dixmier, Sous-algèbres de Cartan et décompositions de Levi dans les algèbres de Lie, Trans. Royal Soc. Canada, t. L (1956), p. 17–21.

a) Montrer que (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). b) Soit A l’ensemble des éléments semi-simples de g. Montrer que A est stable par Aut_e(g). c) Montrer que (iii) ⇒ (i). (Se ramener (App. I, exerc. 1,) au cas où k est algébriquement clos. Si h est une sous-algèbre de Cartan de g, montrer, grâce à l’exerc. 15, que A ∩ h est dense dans h; comme [x, y] = 0 si x ∈ A ∩ h, y ∈ h, en déduire que h est commutative, d’où aussitôt (i).) d) On suppose que k est R, C, ou un corps ultramétrique complet non discret de caractéristique zéro. On munit g de la topologie définie par celle de k. Montrer que les propriétés (i), (ii), (iii) sont équivalentes à la suivante: (iv) Les éléments semi-simples de g sont denses dans g. (On montrera que (iv) ⇒ (iii) et (ii) ⇒ (iv), cf. App. I, exerc. 4.)