Bài tập 18, § 3

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ và $U\mathfrak{g}$ (resp. $U\mathfrak{h}$) là đại số bao quanh của $\mathfrak{g}$ (resp. $\mathfrak{h}$). Một dạng tuyến tính $\varphi$ trên $U\mathfrak{g}$ được gọi là trung tâm nếu nó triệt tiêu trên $[U\mathfrak{g},U\mathfrak{g}]$, nghĩa là nếu $\varphi (a.b) =\varphi (b.a)$ với mọi $a, b\in U\mathfrak{g}$.

a) Cho $x, y\in \mathfrak{g}$. Giả sử tồn tại $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$ sao cho $s(x) =y$. Chứng minh rằng

với mọi $n\in \mathbf{N}$ và với mọi dạng tuyến tính trung tâm $\varphi$ trên $U\mathfrak{g}$.

b) Cho $\varphi$ là một dạng tuyến tính trung tâm trên $U\mathfrak{g}$ có hạn chế lên $U\mathfrak{h}$ bằng không. Chứng minh rằng $\varphi = 0$. (Ta có thể giả sử rằng $k$ là đóng đại số. Suy ra từ $a$) rằng khi đó ta có $\varphi (x^n) = 0$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ và mọi $x\in \mathfrak{g}$ chính quy; dùng một lập luận về mật độ để loại bỏ giả thiết chính quy.)

c) Chứng minh rằng $U\mathfrak{g}= [U\mathfrak{g},U\mathfrak{g}] + U\mathfrak{h}$.

d) Cho V là một $\mathfrak{g}$-môđun nửa đơn. Chứng minh rằng V là nửa đơn như một $\mathfrak{h}$-môđun. Đặc biệt, $V^{\lambda}(\mathfrak{h}) = V_{\lambda}(\mathfrak{h})$ với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*$.

e) Cho $V'$ là một $\mathfrak{g}$-môđun nửa đơn. Giả sử rằng V và $V'$ là đẳng cấu như các $\mathfrak{h}$-môđun. Chứng minh rằng chúng đẳng cấu như các $\mathfrak{g}$-môđun. (Nếu $a\in U\mathfrak{h}$, nhận xét rằng Tr($a_V$) $=$ Tr($a_{V'}$). Suy ra, bằng cách dùng $b$) hoặc c), rằng Tr($x_V$) $=$ Tr($x_{V'}$) với mọi $x\in U\mathfrak{g}$, và kết luận bằng cách dùng Đại số, Chương VIII.)

Nếu $k$ là đóng đại số, giả thiết rằng“VandV$'$ là $\mathfrak{h}$-đẳng cấu” tương đương với việc nói rằng dim $V_{\lambda}(\mathfrak{h}) =$ dim $V'_{\lambda}(\mathfrak{h})$ với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*$.