Exercice 18, § 3

Soient g une algèbre de Lie, h une sous-algèbre de Cartan de g et Ug (resp. Uh) l’algèbre enveloppante de g (resp. h). Une forme linéaire φ sur Ug est dite centrale si elle s’annule sur [Ug, Ug], i.e. si φ(a.b) = φ(b.a) pour tous a, b ∈ Ug. a) Soient x, y ∈ g. On suppose qu’il existe s ∈ Aut_e(g) tel que s(x) = y. Montrer que l’on a

pour tout n ∈ N et pour toute forme linéaire centrale φ sur Ug. b) Soit φ une forme linéaire centrale sur Ug dont la restriction à Uh est nulle. Montrer que φ = 0. (On peut supposer k algébriquement clos. Déduire de a) que l’on a alors φ(x^n) = 0 pour tout n ∈ N et tout x ∈ g régulier; utiliser un argument de densité pour supprimer l’hypothèse de régularité.) c) Montrer que Ug = [Ug, Ug] + Uh. d) Soit V un g-module semi-simple. Montrer que V est semi-simple comme h-module. En particulier, on a V^λ(h) = V_λ(h) pour tout λ ∈ h*. e) Soit V’ un g-module semi-simple. On suppose que V et V’ sont isomorphes comme h-modules. Montrer qu’ils sont isomorphes comme g-modules. (Si a ∈ Uh, remarquer que Tr(a_V) = Tr(a_{V'})). En déduire, grâce à b), ou c), que Tr(x_V) = Tr(x_{V'}) pour tout x ∈ Ug, et conclure grâce à A, VIII.) Si k est algébriquement clos, l’hypothèse « V et V’ sont h-isomorphes » équivaut à dire que dim V_λ(h) = dim V'_λ(h) pour tout λ ∈ h*.