Bài tập 9, § 3

Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie, $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$ và $x$ là một phần tử của $\mathfrak{h}$. Cho $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{g}^+$ là phân rã Fitting (§1, no. 1) của $\mathfrak{g}$ đối với $\mathfrak{h}$. a) Cho $\mathfrak{n}$ là $\mathfrak{h}$-môđun con nửa đơn lớn nhất được chứa trong $\mathfrak{g}^0(x)\cap \mathfrak{g}^+$. Hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{n}= 0$ khi và chỉ khi $\mathfrak{g}^0(x) =\mathfrak{h}$, tức là $x$ là chính quy trong $\mathfrak{g}$.

b) Hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$ là một đại số con của $\mathfrak{g}$. Nếu $\mathfrak{h}'$ là giao của $\mathfrak{h}$ với hoán tập của $\mathfrak{n}$, hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{h}'$ là một iđêan của $\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$ chứa $\mathscr{D}\mathfrak{h}$ và $x$. Kết luận (Exerc. 8) rằng $\mathfrak{h}'\subset \mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n})$, và do đó $x\in \mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n})$ và $x$ thuộc mọi đại số con Cartan của $\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$.

c) Nếu $\mathfrak{n}\not= 0,\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$ không lũy linh và có vô hạn đại số con Cartan (§2, Exerc.