Exercice 9, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie, $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$ et $x$ un élément de $h$. Soit $g = h \oplus g^+$ la décomposition de Fitting ($§ 1$, no 1) de $g$ par rapport à $h$. a) Soit $n$ le plus grand sous-$h$-module semi-simple contenu dans $g^0(x) \cap g^+$. Montrer que $n = 0$ si et seulement si $g^0(x) = h$, i.e. si $x$ est régulier dans $g$. b) Montrer que $h \oplus n$ est une sous-algèbre de $g$. Si $h'$ est l’intersection de $h$ avec le commutant de $n$, montrer que $h'$ est un idéal de $h \oplus n$, qui contient $\mathscr{D}h$ et $x$. En conclure (exerc. 8) que $h' \subset \mathscr{C}_\infty(h \oplus n)$, d’où $x \in \mathscr{C}_\infty(h \oplus n)$ et $x$ appartient à toute sous-algèbre de Cartan de $h \oplus n$.

c) Si $n \neq 0$, $h \oplus n$ n’est pas nilpotente et possède une infinité de sous-algèbres de Cartan ($§ 2$, exerc. 10). En conclure que $x$ appartient à une infinité de sous-algèbres de Cartan de $g$. d) Pour qu’un élément de $g$ soit régulier, il faut et il suffit qu’il appartienne à une sous-algèbre de Cartan et à une seule.